حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x - 7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

أعِد كتابة $\frac{1}{x - 7}$ بالصيغة ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 = 0$

بما أن $3 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

Step 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

Step 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 7)}^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

Step 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ هو $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 7)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $7$ من $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $3$ على $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (6) = - 3$

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

المشتق في $x = 6$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 7)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 7)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(7, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $7$ من $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $3$ على $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (8) = - 3$

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

المشتق في $x = 8$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(7, \infty)$ .

تناقص خلال $(7, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9