حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

اضرب $2$ في $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 52$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 52$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

أضف $- 3 x^{2} + 18 x$ و $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{2} + 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

أخرِج العامل $- 3 x$ من $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 3 x (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

Step 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

اضرب $18$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

اطرح $18$ من $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

الإجابة النهائية هي $- 21$ .

$- 21$

المشتق في $x = - 1$ هو $- 21$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

اضرب $- 3$ في $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

اضرب $18$ في $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

أضف $- 27$ و $54$ .

$f' (3) = 27$

الإجابة النهائية هي $27$ .

$27$

المشتق في $x = 3$ هو $27$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 6)$ .

تزايد خلال $(0, 6)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

اضرب $- 3$ في $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

اضرب $18$ في $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

أضف $- 147$ و $126$ .

$f' (7) = - 21$

الإجابة النهائية هي $- 21$ .

$- 21$

المشتق في $x = 7$ هو $- 21$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(6, \infty)$ .

تناقص خلال $(6, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 6)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9