حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}}$

Step 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

Step 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Step 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

اضرب $2$ في $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{e^{x}}$

Step 4

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Step 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$8 \frac{\infty}{\infty}$

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$8 \frac{\infty}{\infty}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Step 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{x}}$ يقترب من $0$ .

$8 \cdot 0$

Step 7

اضرب $8$ في $0$ .

$0$