حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{7 x}$

Step 1

اكتب $e^{7 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

انقُل $7$ إلى يسار $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $7 e^{7 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

لا يوجد حل لـ $7 e^{7 x} = 0$

لا يوجد حل

Step 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

Step 5

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = 7 e^{7 x}$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = e^{7 x}$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = 7 e^{7 x}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

الإجابة النهائية هي $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = 7 e^{7 x}$ هي $7 e^{7}$ ، وهي موجبة، لذا فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \infty, \infty)$ نظرًا إلى أن $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

يعني التزايد على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتزايد دائمًا.

متزايد دائمًا

Step 9