حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

اكتب $3 x^{2} - 6 x$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 6 = 0$

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 6$

اقسِم كل حد في $6 x = 6$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $6 x = 6$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $6$ على $6$ .

$x = 1$

Step 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $1$ .

$1$

Step 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 6 x - 6$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ هو $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 6 (0) - 6$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

اطرح $6$ من $0$ .

$f' (0) = - 6$

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

المشتق في $x = 0$ هو $- 6$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 6 (2) - 6$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

اطرح $6$ من $12$ .

$f' (2) = 6$

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

المشتق في $x = 2$ هو $6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(1, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 1)$

Step 9