حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

اكتب $\ln (x^{2} + 16)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

اجمع $\frac{2}{x^{2} + 16}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

اضرب $x^{2} + 16$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

اضرب $2$ في $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $32$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = - 32$

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 32$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 32$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 32$ على $- 2$ .

$x^{2} = 16$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{16}$

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 4$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 4$

Step 3

أوجِد نطاق $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{2} + 16)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} + 16 > 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $16$ من كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} > - 16$

بما أن الطرف الأيسر به قوة زوجية، إذن هو دائمًا موجب بالنسبة إلى جميع الأعداد الحقيقية.

جميع الأعداد الحقيقية

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

اضرب $- 2$ في $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

أضف $- 72$ و $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

أضف $36$ و $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

ارفع $52$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف العامل المشترك لـ $- 40$ و $2704$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $8$ من $- 40$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $8$ من $2704$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 4)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 4, 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

أضف $0$ و $32$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

أضف $0$ و $16$ .

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

احذِف العامل المشترك لـ $32$ و $256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $32$ من $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $32$ من $256$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8}$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 4, 4)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 4, 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

اضرب $- 2$ في $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

أضف $- 72$ و $32$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

أضف $36$ و $16$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

ارفع $52$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف العامل المشترك لـ $- 40$ و $2704$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $8$ من $- 40$ .

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $8$ من $2704$ .

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(4, \infty)$ لأن $f'' (6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 4, 4)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 9