حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{64 - x^{2}}$ في صورة ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب الأُسس في ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

أعِد كتابة العبارة.

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

بسّط.

$64 - x^{2} = 0^{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$64 - x^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $64$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 64$

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 64$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 64$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 64$ على $- 1$ .

$x^{2} = 64$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{64}$

بسّط $\pm \sqrt{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 8$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 8$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 8$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 8, - 8$

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ .

$y = 0$

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

بسّط $\sqrt{64 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 8$ و $b = x$ .

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 8$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

اطرح $0$ من $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وسّع $(8 + x) (8 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $8$ في $8$ .

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

اضرب $- 1$ في $8$ .

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

اضرب $x$ في $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

أضف $- 8 x$ و $8 x$ .

$64 + 0 - x^{2}$

أضف $64$ و $0$ .

$64 - x^{2}$

أعِد ترتيب $64$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 64$

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

أعِد كتابة $- 1 \cdot 0$ بالصيغة $- 0$ .

$d = - 0$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$d = 0$

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$e = 64 - 0$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = 64 + 0$

أضف $64$ و $0$ .

$e = 64$

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + 0)}^{2} + 64$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

لنفترض أن $u_{1} = x + 0$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

افترض أن $u_{1} = x + 0$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 0$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

أضف $1$ و $0$ .

$1$

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 8 + 0$

أضف $- 8$ و $0$ .

$u_{lower} = - 8$

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 8 + 0$

أضف $8$ و $0$ .

$u_{upper} = 8$

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

لنفترض أن $u_{1} = 8 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $8 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $8 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

اضرب $64$ في $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

أعِد ترتيب $- 64 \sin^{2} (t)$ و $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

أخرِج العامل $64$ من $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

أخرِج العامل $64$ من $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

أعِد كتابة $64 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $8$ في $8$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $64$ خارج التكامل.

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{2}$ و $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

اقسِم $32$ على $1$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

طبّق قاعدة الثابت.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

لنفترض أن $u_{2} = 2 t$ . إذن $d u_{2} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

افترض أن $u_{2} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = - π$

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $t$ في $\frac{π}{2}$ وفي $- \frac{π}{2}$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $π$ وفي $- π$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

أضف $π$ و $π$ .

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

اقسِم $π$ على $1$ .

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

أضف $0$ و $0$ .

$32 (π + \frac{0}{2})$

اقسِم $0$ على $2$ .

$32 (π + 0)$

أضف $π$ و $0$ .

$32 π$

Step 5