حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

أوجِد قيمة $x$ في $2 x = 2 \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن الجذر يقع على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث يصبح على المتعادل الأيسر.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

بسّط.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط ${(2 x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$4 x = 2^{2} x^{2}$

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 x = 4 x^{2}$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

أخرِج العامل $4 u$ من $4 u - 4 u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 u$ من $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

أخرِج العامل $4 u$ من $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

أخرِج العامل $4 u$ من $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - x = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $1 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (1 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

بسّط $2 \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف الأقواس.

$y = 2 \sqrt{0}$

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 2 \cdot 0$

اضرب $2$ في $0$ .

$y = 0$

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = 2 \sqrt{1}$

بسّط $2 \sqrt{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف الأقواس.

$y = 2 \sqrt{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$y = 2 \cdot 1$

اضرب $2$ في $1$ .

$y = 2$

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اضرب $2$ في $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

أضف $\frac{2}{3}$ و $0$ .

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{4}{3} - 1$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{4 - 3}{3}$

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 4