حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{3} - 4 x$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$12 x^{2} = 4$

اقسِم كل حد في $12 x^{2} = 4$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $12 x^{2} = 4$ على $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 4

احسِب قيمة $4 x^{3} - 4 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب القيمة في $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$4 \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{3}$ .

$4 \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

اجمع $4$ و $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

اجمع $- 4$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

لكتابة $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{9}$

اطرح $12 \sqrt{3}$ من $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

احسِب القيمة في $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{3}$ بالصيغة ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$4 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- \frac{3 (\sqrt{3})}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ألغِ العامل المشترك.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

أعِد كتابة العبارة.

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

اضرب $4 (- \frac{\sqrt{3}}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

اجمع $- 4$ و $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(4) \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

اضرب $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

اجمع $4$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

لكتابة $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{9}$

أضف $- 4 \sqrt{3}$ و $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8 \sqrt{3}}{9})$

Step 5