حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 3$ و $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$

Step 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{2}}{48}$ .

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

اضرب $2$ في $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

ارفع $48$ إلى القوة $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

بما أن $\frac{1}{2304}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2304}$ خارج التكامل.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

اجمع $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ و $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $9 x$ في $12$ وفي $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $12$ وفي $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $9$ في $12$ .

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

اضرب $- 9$ في $0$ .

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

أضف $108$ و $0$ .

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

ارفع $12$ إلى القوة $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

أضف $\frac{248832}{5}$ و $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

أعِد كتابة $\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ في صورة حاصل ضرب.

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

اضرب $\frac{248832}{5}$ في $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

اضرب $5$ في $2304$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

احذِف العامل المشترك لـ $248832$ و $11520$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2304$ من $248832$ .

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2304$ من $11520$ .

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

لكتابة $108$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

اجمع $108$ و $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $108$ في $5$ .

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

اطرح $108$ من $540$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

اجمع $π$ و $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

انقُل $432$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{432 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10