حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

اكتب $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

اضرب $x^{2} - 4$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{2} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أعِد كتابة ${(x^{2} - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

وسّع $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اطرح $4 x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 8$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $- 4$ في $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $- 4$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

وسّع $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $8$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اضرب $- 4$ في $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $- 32 x^{3}$ و $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $8 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أضف $- 4 x^{5}$ و $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

اطرح $128 x$ من $- 64 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أخرِج العامل $4 x$ من $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أخرِج العامل $4 x$ من $- 192 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

حلّل $u^{2} + 8 u - 48$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 48$ ومجموعهما $8$ .

$- 4, 12$

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

احذِف العامل المشترك لـ $x + 2$ و ${(x + 2)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x + 2$ من $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x + 2$ من ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

احذِف العامل المشترك لـ $x - 2$ و ${(x - 2)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x - 2$ من $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x^{2} + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 12$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

بسّط $\pm \sqrt{- 12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 i \sqrt{3}$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x^{2} + 12) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} - 4 = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 4$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{4}$

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2, - 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $- 4$ و $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

اطرح $2$ من $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

ارفع $- 6$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

أضف $16$ و $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 8$ في $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

اضرب $- 16$ في $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

احذِف العامل المشترك لـ $- 448$ و $1728$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $64$ من $- 448$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $64$ من $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{27}$ .

$- \frac{7}{27}$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 2)$ لأن $f'' (- 4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $- 1$ و $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

اضرب $- 27$ في $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

أضف $1$ و $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

الإجابة النهائية هي $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 2, 0)$ لأن $f'' (- 1)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 2, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

أضف $1$ و $12$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $27$ في $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

اضرب $4$ في $13$ .

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, 2)$ لأن $f'' (1)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 8

عوّض بأي عدد من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $4$ و $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

اطرح $2$ من $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

أضف $16$ و $12$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $216$ في $8$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

اضرب $16$ في $28$ .

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

احذِف العامل المشترك لـ $448$ و $1728$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $64$ من $448$ .

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $64$ من $1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

الإجابة النهائية هي $\frac{7}{27}$ .

$\frac{7}{27}$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(2, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 9

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 2, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 10