حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{6 x} + e^{- x}$

Step 1

اكتب $e^{6 x} + e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$

Step 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{6 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 x$ .

$f' (x) = e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

اضرب $6$ في $1$ .

$f' (x) = e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

انقُل $6$ إلى يسار $e^{6 x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 e^{6 x} - e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

انقُل $- e^{- x}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$6 e^{6 x} = e^{- x}$

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (6 e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $\ln (6 e^{6 x})$ بالصيغة $\ln (6) + \ln (e^{6 x})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

وسّع $\ln (e^{6 x})$ بنقل $6 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (6) + 6 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (6) + 6 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

اضرب $6$ في $1$ .

$\ln (6) + 6 x = \ln (e^{- x})$

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وسّع $\ln (e^{- x})$ بنقل $- x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (6) + 6 x = - x \ln (e)$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x$

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (6) + 6 x + x = 0$

أضف $6 x$ و $x$ .

$\ln (6) + 7 x = 0$

اطرح $\ln (6)$ من كلا المتعادلين.

$7 x = - \ln (6)$

اقسِم كل حد في $7 x = - \ln (6)$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $7 x = - \ln (6)$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \ln (6)}{7}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Step 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{\ln (6)}{7}$ .

$- \frac{\ln (6)}{7}$

Step 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ هو $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.25596563$ في العبارة.

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{6 (- 1.25596563)} - e^{- (- 1.25596563)}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{- 7.53579383} - e^{- (- 1.25596563)}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 (\frac{1}{e^{7.53579383}}) - e^{- (- 1.25596563)}$

اجمع $6$ و $\frac{1}{e^{7.53579383}}$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{- (- 1.25596563)}$

اضرب $- 1$ في $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

الإجابة النهائية هي $\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$ .

$\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

بسّط.

$- 3.50802548$

المشتق في $x = - 1.25596563$ هو $- 3.50802548$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.74403436$ في العبارة.

$f' (0.74403436) = 6 e^{6 (0.74403436)} - e^{- (0.74403436)}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- (0.74403436)}$

اضرب $- 1$ في $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- 0.74403436}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

الإجابة النهائية هي $6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$ .

$6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

بسّط.

$520.63714505$

المشتق في $x = 0.74403436$ هو $520.63714505$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$

Step 9