حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - 3 x + 1$

خطوة 1

اكتب $x^{3} - 3 x + 1$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

أضف $3 x^{2} - 3$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 3$

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 3$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 3$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $3$ على $3$ .

$x^{2} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $1, - 1$ .

$1, - 1$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

اطرح $3$ من $12$ .

$f' (- 2) = 9$

الإجابة النهائية هي $9$ .

$9$

المشتق في $x = - 2$ هو $9$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

اضرب $3$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = - 3$

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

المشتق في $x = 0$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 1)$ .

تناقص خلال $(- 1, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

اطرح $3$ من $12$ .

$f' (2) = 9$

الإجابة النهائية هي $9$ .

$9$

المشتق في $x = 2$ هو $9$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- 1, 1)$

خطوة 10