حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{3} - 8 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} - 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} = 8$

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} - 8 = 0$

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 2 x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x^{2} + 2 x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = 0$

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

اطرح $x^{3} - 8$ من $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $3$ وفي $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

احسِب قيمة $8 x$ في $3$ وفي $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

اطرح $1$ من $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

اقسِم $20$ على $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

اضرب $8$ في $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

اطرح $8$ من $24$ .

$- 20 + 16$

أضف $- 20$ و $16$ .

$- 4$

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

اطرح $0$ من $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ و $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ في $3$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

اجمع $\frac{1}{4}$ و $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

اضرب $- 8$ في $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

لكتابة $- 24$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

اجمع $- 24$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 24$ في $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

اطرح $96$ من $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

اجمع $- 8$ و $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 8$ في $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

اطرح $32$ من $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

اضرب $\frac{31}{4}$ في $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

أضف $- 15$ و $31$ .

$\frac{16}{4}$

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1}$

اقسِم $4$ على $1$ .

$4$

Step 4