حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4}$

Step 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} = 0$

اقسِم كل حد في $12 x^{2} = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $12 x^{2} = 0$ على $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $12$ .

$x^{2} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

Step 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{4}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0$

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

الإجابة النهائية هي $0.12$ .

$0.12$

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

اضرب $12$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

الإجابة النهائية هي $0.12$ .

$0.12$

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. لا توجد نقاط على الرسم البياني تستوفي هذه المتطلبات.

لا توجد نقاط انقلاب