حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (- 2)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

أضف $3 x^{2} - 3$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

أضف $6 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x$ .

$6 x$

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x = 0$

اقسِم كل حد في $6 x = 0$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $6 x = 0$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $6$ .

$x = 0$

Step 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = 6 (- 2)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 12$

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = 6 (2)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $6$ في $2$ .

$f'' (2) = 12$

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 7