حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $x^{2} - 4$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- x^{2} - 4 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$- x^{2} = 4$

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $4$ على $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

بسّط $\pm \sqrt{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 2$

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 2 i$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 i$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 i$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 i, - 2 i$

Step 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

Step 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة القاسم في $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Step 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = \frac{- {(- 3)}^{2} - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $- 9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{25}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 3) = - \frac{13}{25}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

المشتق في $x = - 3$ هو $- \frac{13}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 4}{{({(0)}^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{- 0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0 - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(- 4)}^{2}}$

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{16}$

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{16}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0) = \frac{- 1}{4}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (0) = - \frac{1}{4}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

المشتق في $x = 0$ هو $- \frac{1}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 2)$ .

تناقص خلال $(- 2, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 4}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f' (3) = \frac{- 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $- 9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

اطرح $4$ من $9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{25}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (3) = - \frac{13}{25}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

المشتق في $x = 3$ هو $- \frac{13}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, - 2), (- 2, 2), (2, \infty)$

Step 10