حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}$

Step 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

Step 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

اجمع $4$ و $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

اضرب $\frac{4}{1 + 4 x}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}$

Step 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1$

Step 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{4}{4 x + 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}$

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}$

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}$

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}$

Step 6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Step 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $4$ في $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

أضف $0$ و $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{1}{1})$

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot 1$

اضرب $4$ في $1$ .

$4$