حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

اضرب $\frac{1}{x - y}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $\frac{1}{x - y}$ بالصيغة ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$