حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = π$

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

اضرب $2$ في $2$ .

$x = 4 π - π$

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = 3 π$

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

فترة دالة $\cos (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

وحّد الإجابات.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

Step 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 4

احسِب قيمة $\sin (\frac{x}{2})$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب القيمة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1$

احسِب القيمة في $x = 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \sin (\frac{π}{2})$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

اسرِد جميع النقاط.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ ، لأي عدد صحيح $n$

Step 5