حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

اكتب $1 - 2 \sin (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

اطرح $2 \cos (x)$ من $0$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = 0$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = 0$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

Step 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 2 \cos (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ هو $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

الإجابة النهائية هي $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

بسّط.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ هو $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

الإجابة النهائية هي $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

بسّط.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ هو $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9