حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $8$ في $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

Step 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \tan (t)$ و $g (t) = 8 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

اضرب $8$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

انقُل $8$ إلى يسار $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

اضرب $8$ في $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

اضرب $2$ في $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $8 \sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (8 t)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $8$ في $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $0$ .

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{1}{1})$

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot 1$

اضرب $4$ في $1$ .

$4$