حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

أعِد كتابة العبارة.

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 3$ في $1$ .

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

اطرح $3$ من $6$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 3 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

اطرح $\frac{3}{x}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

اضرب $6$ في $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

اطرح $3$ من $6$ .

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 - 3 \ln (x)$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 - 3 \ln (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - 3 \ln (x) = 0$

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 3 \ln (x) = - 3$

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - 3$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - 3$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 3$ على $- 3$ .

$\ln (x) = 1$

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

أعِد كتابة $\ln (x) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{1}$ .

$x = e$

Step 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = e$

Step 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = e$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = e$ هي حد أقصى محلي

Step 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $e$ في العبارة.

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e$

اطرح $3 e$ من $6 e$ .

$f (e) = 3 e$

الإجابة النهائية هي $3 e$ .

$y = 3 e$

Step 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ .

$(e, 3 e)$ هي نقطة قصوى محلية

Step 12