حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

اكتب $x^{2} \ln (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

اقسِم $x$ على $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x \ln (x) + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 \ln (x) = - 3$

اقسِم كل حد في $2 \ln (x) = - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 \ln (x) = - 3$ على $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

أعِد كتابة $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ في $f (x) = x^{2} \ln (x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

انقُل $e^{\frac{3}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

وسّع $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ بنقل $- \frac{3}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

اضرب $\frac{1}{e^{3}}$ في $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

انقُل $2$ إلى يسار $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ في $f (x) = x^{2} \ln (x)$ هي $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.12313016$ في العبارة.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط $2 \ln (0.12313016)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

ارفع $0.12313016$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

الإجابة النهائية هي $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

المشتق الثاني عند $0.12313016$ يساوي $- 1.18902654$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.32313016$ في العبارة.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط $2 \ln (0.32313016)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

ارفع $0.32313016$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

الإجابة النهائية هي $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

في $0.32313016$ ، المشتق الثاني هو $0.74059987$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9