حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\ln (x)}{x}$

Step 1

اكتب $\frac{\ln (x)}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

أخرِج العامل $x$ من $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

أخرِج العامل $x$ من $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

اضرب $- 2 (- \ln (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

اقسِم كل حد في $- \ln (x^{2}) = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- \ln (x^{2}) = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

اقسِم $\ln (x^{2})$ على $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

أعِد كتابة $\ln (x^{2}) = 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} = e^{3}$ .

$x^{2} = e^{3}$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

بسّط $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج عامل $e^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm e \sqrt{e}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = e \sqrt{e}$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - e \sqrt{e}$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Step 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $e \sqrt{e}$ في $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $e \sqrt{e}$ في العبارة.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ في $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ في $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

انقُل $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

ارفع $\sqrt{e}$ إلى القوة $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

ارفع $\sqrt{e}$ إلى القوة $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

أضف $1$ و $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

أعِد كتابة ${\sqrt{e}}^{2}$ بالصيغة $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e}$ في صورة $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

أعِد كتابة العبارة.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

بسّط.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

أضف $1$ و $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

الإجابة النهائية هي $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $e \sqrt{e}$ في $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ هي $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

$- e \sqrt{e}$ ليس موجودًا في نطاق $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . ولا توجد نقطة انقلاب عند $- e \sqrt{e}$ .

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, e \sqrt{e})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.38168907$ في العبارة.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $4.38168907$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

ارفع $4.38168907$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

لوغاريتم $19.1991991$ للأساس $2.71828182$ يساوي $2.95486856$ تقريبًا.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

اضرب $- 1$ في $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

اطرح $2.95486856$ من $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

اقسِم $0.04513143$ على $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

اضرب $- 1$ في $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

الإجابة النهائية هي $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

المشتق الثاني عند $4.38168907$ يساوي $- 0.00053648$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, e \sqrt{e})$

تناقص خلال $(- \infty, e \sqrt{e})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(e \sqrt{e}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.58168907$ في العبارة.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $4.58168907$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

ارفع $4.58168907$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

لوغاريتم $20.99187473$ للأساس $2.71828182$ يساوي $3.04413544$ تقريبًا.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

اضرب $- 1$ في $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

اطرح $3.04413544$ من $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

اقسِم $- 0.04413544$ على $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

الإجابة النهائية هي $0.00045889$ .

$0.00045889$

في $4.58168907$ ، المشتق الثاني هو $0.00045889$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

تزايد خلال $(e \sqrt{e}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 9