حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

غيّر الحد بجانبين إلى حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

أعِد كتابة $x \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$\frac{- \infty}{\infty}$

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$0$