حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$10 \cos^{4} (x)$

Step 1

اكتب $10 \cos^{4} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 10 \cos^{4} (x)$

Step 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \cos^{4} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 10 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = 10 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

اضرب $4$ في $10$ .

$f' (x) = 40 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 40 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

اضرب $- 1$ في $40$ .

$f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Step 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

عيّن قيمة العبارة $\cos^{3} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $\cos^{3} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $\cos^{3} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ الجذر التكعيبي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\cos (x) = 0$

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

Step 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Step 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 10 \cos^{4} (x)$ هو $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π n}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

الإجابة النهائية هي $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

بسّط.

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

المشتق في $x = \frac{π n}{2} - 1$ هو $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π n}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

الإجابة النهائية هي $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

بسّط.

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

المشتق في $x = \frac{π n}{2} + 1$ هو $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Step 9