حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد ترتيب عوامل $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

اطرح $4 \cos (x) \sin (x)$ من $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$