حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{2} = π - 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (π - 0)$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $0$ من $π$ .

$x = 2 π$

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

وحّد الإجابات.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

Step 3

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ هي $(,)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(,)$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty,)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 0.1$ على $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

احسِب قيمة $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 0.04997916$ على $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

اضرب $- 1$ في $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

الإجابة النهائية هي $0.01249479$ .

$0.01249479$

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.01249479$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty,)$ .

تزايد خلال $(- \infty,)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0.1$ على $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

احسِب قيمة $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0.04997916$ على $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

اضرب $- 1$ في $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

الإجابة النهائية هي $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.01249479$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(, \infty)$

تناقص خلال $(, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

Step 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(,)$ .

$(,)$

Step 8