حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Step 1

اكتب $y = x^{\frac{2}{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Step 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

اطرح $3$ من $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

اجمع $x^{- \frac{4}{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

انقُل $x^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Step 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Step 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

اطرح $3$ من $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

Step 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

أعِد كتابة العبارة.

$27 x^{1} = 0^{3}$

بسّط.

$27 x = 0^{3}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x = 0$

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $27$ .

$x = 0$

Step 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Step 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

اضرب $9$ في $0$ .

$- \frac{2}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{2}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

Step 11

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

اطرح $1$ من $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

الإجابة النهائية هي $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

Step 12