حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Step 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 1$

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2$

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1 u_{upper} = 2$

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Step 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Step 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $2$ وفي $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Step 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Step 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2)$

الصيغة العشرية:

$0.69314718 \dots$