حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

اضرب $2$ في $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 52$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 52$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

أضف $- 3 x^{2} + 18 x$ و $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + 18 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

اضرب $18$ في $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 6 x + 18 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$- 6 x = - 18$

اقسِم كل حد في $- 6 x = - 18$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- 6 x = - 18$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 18$ على $- 6$ .

$x = 3$

Step 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 52$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

اضرب $- 1$ في $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 52$

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 52$

اضرب $9$ في $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 52$

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $- 27$ و $81$ .

$f (3) = 54 - 52$

اطرح $52$ من $54$ .

$f (3) = 2$

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$ هي $(3, 2)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, 2)$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.9$ في العبارة.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 6$ في $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

أضف $- 17.4$ و $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

الإجابة النهائية هي $0.6$ .

$0.6$

في $2.9$ ، المشتق الثاني هو $0.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 3)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 3)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 6$ في $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

أضف $- 18.6$ و $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

الإجابة النهائية هي $- 0.6$ .

$- 0.6$

المشتق الثاني عند $3.1$ يساوي $- 0.6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(3, \infty)$

تناقص خلال $(3, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

Step 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(3, 2)$ .

$(3, 2)$

Step 8