حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} + 6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

اضرب $3$ في $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

أخرِج العامل $6 x^{2}$ من $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 3 = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 3$

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3}{2}$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{3}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.5$ في العبارة.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 2.5$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

اضرب $12$ في $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

ارفع $- 2.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

اضرب $18$ في $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

أضف $- 187.5$ و $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

الإجابة النهائية هي $- 75$ .

$- 75$

المشتق في $x = - 2.5$ هو $- 75$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{3}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.5, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.75$ في العبارة.

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 0.75$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

اضرب $12$ في $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

ارفع $- 0.75$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

اضرب $18$ في $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

أضف $- 5.0625$ و $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

الإجابة النهائية هي $5.0625$ .

$5.0625$

المشتق في $x = - 0.75$ هو $5.0625$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1.5, 0)$ .

تزايد خلال $(- \frac{3}{2}, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

اضرب $12$ في $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

اضرب $18$ في $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

أضف $12$ و $18$ .

$f' (1) = 30$

الإجابة النهائية هي $30$ .

$30$

المشتق في $x = 1$ هو $30$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9