حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x^{2}}$ في صورة ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

انقُل ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

اجمع $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

Step 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x^{2}}$ في صورة ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب الأُسس في ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

أعِد كتابة العبارة.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

بسّط.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$1 - x^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 1$

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{1 - x^{2}}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 - x^{2} < 0$

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} < - 1$

اقسِم كل حد في $- x^{2} < - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x^{2} < - 1$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | > \sqrt{1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| x | > 1$

اكتب $| x | > 1$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x > 1$

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x > 1$

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

أوجِد التقاطع بين $x > 1$ و $x \geq 0$ .

$x > 1$

اقسِم كل حد في $- x > 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $- x > 1$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$x < - 1$

أوجِد اتحاد الحلول.

$x < - 1$ أو $x > 1$

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 4

احسِب قيمة $\sqrt{1 - x^{2}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sqrt{1 - 0}$

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

أضف $1$ و $0$ .

$\sqrt{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1$

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

أضف $1$ و $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

اطرح $1$ من $1$ .

$\sqrt{0}$

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$0$

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

اطرح $1$ من $1$ .

$\sqrt{0}$

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$0$

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 5