حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

أخرِج العامل $2$ من $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

أخرِج العامل $2$ من $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

اقسِم كل حد في $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

اقسِم $6 x^{2} + x + 2$ على $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $0$ على $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

عوّض بقيم $a = 6$ و $b = 1$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 24$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

اطرح $48$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $- 47$ بالصيغة $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (47)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

اضرب $2$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 24$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

اطرح $48$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $- 47$ بالصيغة $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (47)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

اضرب $2$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

اضرب $- 24$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

اطرح $48$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $- 47$ بالصيغة $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (47)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

اضرب $2$ في $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة