حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} - 4 x - 8$

Step 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 8]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x - 4 + 0$

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$2 x - 4$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 4)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 x - 4 = 0$

Step 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 x - 4 + 0$

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$f' (x) = 2 x - 4$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Step 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 4 = 0$

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 4$

اقسِم كل حد في $2 x = 4$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $2 x = 4$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $4$ على $2$ .

$x = 2$

Step 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 2$

Step 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2$

Step 9

$x = 2$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

Step 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 4 - 4 \cdot 2 - 8$

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f (2) = 4 - 8 - 8$

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $8$ من $4$ .

$f (2) = - 4 - 8$

اطرح $8$ من $- 4$ .

$f (2) = - 12$

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$y = - 12$

Step 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{2} - 4 x - 8$ .

$(2, - 12)$ هي نقاط دنيا محلية

Step 12