حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

اكتب $y = x^{4} - 4 x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

اضرب $3$ في $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x^{2} (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3$

Step 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 3$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

اضرب $12$ في $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

اضرب $- 24$ في $0$ .

$0 + 0$

أضف $0$ و $0$ .

$0$

Step 11

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 12 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

اضرب $- 12$ في $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

اطرح $48$ من $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

الإجابة النهائية هي $- 80$ .

$- 80$

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, 3)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 12 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

اضرب $4$ في $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

اضرب $- 12$ في $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

اطرح $48$ من $32$ .

$f' (2) = - 16$

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 12 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

اضرب $4$ في $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

اضرب $- 12$ في $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

اطرح $432$ من $864$ .

$f' (6) = 432$

الإجابة النهائية هي $432$ .

$432$

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 0$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 3$ ، إذن $x = 3$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 3$ هي حد أدنى محلي

Step 12