حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 1

اكتب $y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Step 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Step 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

أخرِج العامل $12 x$ من $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, 1$

Step 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 1, 1$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Step 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$36 \cdot 0 - 12$

اضرب $36$ في $0$ .

$0 - 12$

اطرح $12$ من $0$ .

$- 12$

Step 11

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

Step 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

Step 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Step 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

اضرب $36$ في $1$ .

$36 - 12$

اطرح $12$ من $36$ .

$24$

Step 15

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أدنى محلي

Step 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2}$

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1$

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6$

اطرح $6$ من $3$ .

$f (- 1) = - 3$

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$y = - 3$

Step 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Step 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$36 \cdot 1 - 12$

اضرب $36$ في $1$ .

$36 - 12$

اطرح $12$ من $36$ .

$24$

Step 19

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

Step 20

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2}$

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

اطرح $6$ من $3$ .

$f (1) = - 3$

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$y = - 3$

Step 21

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ هي نقطة قصوى محلية

$(- 1, - 3)$ هي نقاط دنيا محلية

$(1, - 3)$ هي نقاط دنيا محلية

Step 22