حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 1

اكتب $y = 3 x^{3} - 36 x - 4$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - 36 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

اضرب $- 36$ في $1$ .

$9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [- 4]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} - 36 + 0$

أضف $9 x^{2} - 36$ و $0$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

اضرب $2$ في $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 0$

أضف $18 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Step 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$9 x^{2} - 36 = 0$

Step 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - 36 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

اضرب $3$ في $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

اضرب $- 36$ في $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} (- 4)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + 0$

أضف $9 x^{2} - 36$ و $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $9 x^{2} - 36$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $9 x^{2} - 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x^{2} - 36 = 0$

أضف $36$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} = 36$

اقسِم كل حد في $9 x^{2} = 36$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $9 x^{2} = 36$ على $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{9}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $36$ على $9$ .

$x^{2} = 4$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{4}$

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

Step 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 2, - 2$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$18 (2)$

Step 10

اضرب $18$ في $2$ .

$36$

Step 11

$x = 2$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

Step 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2 - 4$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2 - 4$

اضرب $3$ في $8$ .

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2 - 4$

اضرب $- 36$ في $2$ .

$f (2) = 24 - 72 - 4$

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $72$ من $24$ .

$f (2) = - 48 - 4$

اطرح $4$ من $- 48$ .

$f (2) = - 52$

الإجابة النهائية هي $- 52$ .

$y = - 52$

Step 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$18 (- 2)$

Step 14

اضرب $18$ في $- 2$ .

$- 36$

Step 15

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 2$ هي حد أقصى محلي

Step 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2 - 4$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2 - 4$

اضرب $3$ في $- 8$ .

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 4$

اضرب $- 36$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 24 + 72 - 4$

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $- 24$ و $72$ .

$f (- 2) = 48 - 4$

اطرح $4$ من $48$ .

$f (- 2) = 44$

الإجابة النهائية هي $44$ .

$y = 44$

Step 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$ .

$(2, - 52)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- 2, 44)$ هي نقطة قصوى محلية

Step 18