حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3}$

Step 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $3$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

أضف $9$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

اطرح $5$ من $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $3$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x^{2} + 16} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 16}$ في صورة ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أضف $2 x$ و $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اجمع $2$ و $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

اجمع $\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

انقُل ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

أضف $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 3} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

أعِد كتابة ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x^{2} + 16}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot 1$

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ في $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

Step 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16}}$

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16}}$

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Step 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2} + 16}}$

Step 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}}$

أضف $9$ و $16$ .

$\frac{3}{\sqrt{25}}$

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5^{2}}}$

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3}{5}$

Step 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{5}$

الصيغة العشرية:

$0.6$