حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x}$

Step 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

اقسِم $2 \cos (2 x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Step 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Step 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \cos (0)$

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1$

اضرب $2$ في $1$ .

$2$