حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

اجمع $\sec^{4} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

أعِد كتابة ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

لنفترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

افترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد مشتقة $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

بسّط.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

اجمع.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اضرب $\tan^{3} (2 x)$ في $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$