حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (10 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{10 x}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $10$ و $\frac{\ln (x)}{10 x}$ .

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

اضرب $\frac{\ln (x)}{x}$ في $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

اجمع $\ln (10 x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

انقُل $x$ .

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$