حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد كتابة $x^{2 \ln (x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

وسّع $\ln (x^{2 \ln (x)})$ بنقل $2 \ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \ln^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{x}$ و $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

اجمع $\frac{4}{x}$ و $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

اجمع $e^{2 \ln^{2} (x)}$ و $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

اضرب $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد ترتيب $\ln (x)$ و $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

بسّط $4 \cdot \ln (x)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$