حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 72 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 72 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 144 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

أخرِج العامل $4 x$ من $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

اضرب $4$ في $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

اضرب $- 144$ في $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

أضف $- 1372$ و $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

الإجابة النهائية هي $- 364$ .

$- 364$

المشتق في $x = - 7$ هو $- 364$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 6)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

اضرب $4$ في $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

اضرب $- 144$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

أضف $- 108$ و $432$ .

$f' (- 3) = 324$

الإجابة النهائية هي $324$ .

$324$

المشتق في $x = - 3$ هو $324$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 6, 0)$ .

تزايد خلال $(- 6, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

اضرب $4$ في $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

اضرب $- 144$ في $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

اطرح $432$ من $108$ .

$f' (3) = - 324$

الإجابة النهائية هي $- 324$ .

$- 324$

المشتق في $x = 3$ هو $- 324$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 6)$ .

تناقص خلال $(0, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

Step 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

اضرب $4$ في $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

اضرب $- 144$ في $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

اطرح $1008$ من $1372$ .

$f' (7) = 364$

الإجابة النهائية هي $364$ .

$364$

المشتق في $x = 7$ هو $364$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

Step 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 6, 0), (6, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10