حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Step 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} - 30 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

اضرب $4$ في $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 30 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 30$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x^{3} - 60 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

اضرب $3$ في $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 60$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 60 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \cdot 1$

اضرب $- 60$ في $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $60 x^{2} - 60$ .

$60 x^{2} - 60$

Step 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $60 x^{2} - 60 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$60 x^{2} - 60 = 0$

أضف $60$ إلى كلا المتعادلين.

$60 x^{2} = 60$

اقسِم كل حد في $60 x^{2} = 60$ على $60$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم كل حد في $60 x^{2} = 60$ على $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك لـ $60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{60}$

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اقسِم $60$ على $60$ .

$x^{2} = 1$

خُذ الجذر التربيعي لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

Step 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 5 {(1)}^{4} - 30 {(1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 30 {(1)}^{2}$

اضرب $5$ في $1$ .

$f (1) = 5 - 30 {(1)}^{2}$

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 5 - 30 \cdot 1$

اضرب $- 30$ في $1$ .

$f (1) = 5 - 30$

اطرح $30$ من $5$ .

$f (1) = - 25$

الإجابة النهائية هي $- 25$ .

$- 25$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ هي $(1, - 25)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, - 25)$

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 30 {(- 1)}^{2}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 - 30 {(- 1)}^{2}$

اضرب $5$ في $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30 {(- 1)}^{2}$

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 5 - 30 \cdot 1$

اضرب $- 30$ في $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30$

اطرح $30$ من $5$ .

$f (- 1) = - 25$

الإجابة النهائية هي $- 25$ .

$- 25$

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ هي $(- 1, - 25)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, - 25)$

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, - 25), (- 1, - 25)$

Step 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{2} - 60$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

اضرب $60$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 72.6 - 60$

اطرح $60$ من $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = 12.6$

الإجابة النهائية هي $12.6$ .

$12.6$

في $- 1.1$ ، المشتق الثاني هو $12.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

اضرب $60$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 60$

اطرح $60$ من $0$ .

$f'' (0) = - 60$

الإجابة النهائية هي $- 60$ .

$- 60$

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 60$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1, 1)$

تناقص خلال $(- 1, 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

Step 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = 60 {(1.1)}^{2} - 60$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

اضرب $60$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = 72.6 - 60$

اطرح $60$ من $72.6$ .

$f'' (1.1) = 12.6$

الإجابة النهائية هي $12.6$ .

$12.6$

في $1.1$ ، المشتق الثاني هو $12.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 25), (1, - 25)$ .

$(- 1, - 25), (1, - 25)$

Step 9