حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $5$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اجمع $\frac{5}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

ألغِ العامل المشترك.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $5$ و $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اجمع $\frac{5}{5}$ و $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{4} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{4} = 1$

خُذ الجذر الرابع لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

Step 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1, - 1$

Step 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \cdot 1$

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

Step 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

اطرح $5$ من $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

الإجابة النهائية هي $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot - 1$

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

Step 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

أضف $- 1$ و $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ هي نقاط دنيا محلية

$(- 1, \frac{4}{5})$ هي نقطة قصوى محلية

Step 17