حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \cdot \arctan (x) d x$

Step 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (x)$ و $d v = x$ .

$\arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

اجمع $\arctan (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Step 5

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Step 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Step 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Step 10

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Step 11

بسّط.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Step 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$