حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 128 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

اضرب $2$ في $- 128$ .

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4096$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} - 256 x + 0$

أضف $4 x^{3} - 256 x$ و $0$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 256 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 256$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 256 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

اضرب $- 256$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 128 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

اضرب $2$ في $- 128$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4096$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

أضف $4 x^{3} - 256 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 256 x$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 256 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 256 x = 0$

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 256 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

أخرِج العامل $4 x$ من $- 256 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ .

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 8$ .

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

Step 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$12 \cdot 0 - 256$

اضرب $12$ في $0$ .

$0 - 256$

اطرح $256$ من $0$ .

$- 256$

Step 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

Step 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

اضرب $- 128$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 4096$

أضف $0$ و $4096$ .

$f (0) = 4096$

الإجابة النهائية هي $4096$ .

$y = 4096$

Step 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 8$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

اضرب $12$ في $64$ .

$768 - 256$

اطرح $256$ من $768$ .

$512$

Step 14

$x = - 8$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 8$ هي حد أدنى محلي

Step 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 8$ إلى القوة $4$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

اضرب $- 128$ في $64$ .

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $8192$ من $4096$ .

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

أضف $- 4096$ و $4096$ .

$f (- 8) = 0$

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

Step 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 8$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

اضرب $12$ في $64$ .

$768 - 256$

اطرح $256$ من $768$ .

$512$

Step 18

$x = 8$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 8$ هي حد أدنى محلي

Step 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $8$ إلى القوة $4$ .

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

اضرب $- 128$ في $64$ .

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

اطرح $8192$ من $4096$ .

$f (8) = - 4096 + 4096$

أضف $- 4096$ و $4096$ .

$f (8) = 0$

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

Step 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ .

$(0, 4096)$ هي نقطة قصوى محلية

$(- 8, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(8, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

Step 21