حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{2} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

أخرِج العامل $12 x$ من $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

Step 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

اضرب $12$ في $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

اضرب $- 24$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

أضف $48$ و $48$ .

$f'' (- 2) = 96$

الإجابة النهائية هي $96$ .

$96$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

اضرب $12$ في $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

اطرح $24$ من $12$ .

$f'' (1) = - 12$

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, 2)$ لأن $f'' (1)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

Step 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

اضرب $12$ في $16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

اضرب $- 24$ في $4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

اطرح $96$ من $192$ .

$f'' (4) = 96$

الإجابة النهائية هي $96$ .

$96$

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(2, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

Step 8